RSS

Да поговорим за математика

14 Март
Да поговорим за математика

The Mathematics of Poker by Bill Chen

Отдавна не съм публикувала под това заглавие… А причината е в това, че тия математици така са я завъртяли тази математика, че просто сякаш няма начин да се получи това, което е написано в книгата. Но, за това ще говоря малко по-късно – сега ще се запознаем със следващата глава.

Глава 18: Цената е от значение – връщаме се към игрите [0, 1]

В началото на книгата споменахме, че няма да предприемаме безсмислени опити да решим покера. По-скоро, бихме искали да се съсредоточим върху изучаването на отделните аспекти от играта, за да получим по-добра представа за това, как различните действия могат да влияят върху нашата стратегия (оптимална или експлоатираща).

Игрите [0, 1] демонстрират този подход по най-добрия начин – в рамките на третата част разгледахме дванадесет различни примера, използвайки разпределение [0, 1], всеки от които имаше уникална структура на залагане и набор от правила. До този момент не обръщахме внимание на нищо друго, освен оптимални стратегии, както и методи, които биха ни позволили да решим всяка подобна игра.

Обаче, определянето на цената на играта е важна част от анализа. Вече говорихме в началото на тази глава, че цената на играта е очакването на единия от играчите при условие, че и двамата участника играят с оптимални стратегии.

По правило, това е играчът У, тъй като почти всички покер-игри дават предимство на играча, който е в позиция. Логично е да се предположи, че в повечето случаи неговата цена на играта ще е неотрицателна. В тази глава, както и преди, ще имаме работа с екс-шоудаун стойност (ако не е посочено нещо друго). Също така ще използваме буквата G в качество на цената на играта, при това, без значение къде: в конкретния интервал, или в цялата област на играта.

За пресмятането на цената на играта винаги можем да подхождаме така: определяме вероятностите за всяка от възможните ръце на участниците, намираме стратегиите им, а след това и математическото очакване. Често пъти това е доста лесен и действен начин за решаване на примитивни игри, като например, игра [0, 1] #1 (пример 11.2).

1

2

Фиг. 18.1 – Цената на играта [0,1] #1

Тук цената на играта (на половин улица, без фолдове) е ¼. Можем да използваме този метод за много други примери, които ще разглеждаме в тази глава. Обаче, колкото е по-сложна играта, толкова по-забъркани стават изчисленията. За щастие, можем да се възползваме от няколко полезнии свойства на оптимални стратегии, за да изчисляваме цената на играта дори в най-сложните случаи.

Нека да разгледаме следната игра. Нека стратегията на играча У остава неизменна – ще я смятаме за оптимална. Тогава, можем да променяме стратегията на играча Х, знаейки при това, че изобщо не може да подобри очакването си.

Забележка: Авторите на книгата вече не веднъж са прибягвали към фиксирането на стратегията на играча У – разгледахме този метод подробно в една от предишните глави (в коментарите към решенията).

Смисълът на тези манипулации със стратегиите е в следното. За ръцете, с които играчът Х е безразличен в избора на действия, можем да изберем онази линия, която е най-подходяща за определянето на цената на играта. Това не означава, че играчът Х може да играе с тази стратегия непосредствено на масата – тогава на играча У ще му е лесно да го експлоатира. Важно е да се разбира, че нашата цел е пресмятане на цената на играта, но не и търсене на оптимални стратегии.

Да се обърнем към игри на пълна улица:

Игра [0, 1] #4 (пример 15.1) беше по-скоро отскок към теория за лудомания, отколкото сериозен инструмент за анализа на покер-стратегия. Веднага успяхме да определим цената на играта за този случай, тъй като всеки от играчите беше задължен да слага пари в пота с абсолютно всяка ръка. Екс-шоудаун очакването беше равно на нула.

Игра [0, 1] #5 (пример 15.2) е игра без фолдове, но играчът У можеше да рейзва залога на опонента си. Получихме следното решение за тази игра:

3

Лесно можем да пресметнем G, фиксирайки стратегията на играча У. Така, играейки срещу оптимална стратегия, играчът Х може или да чекне, или да заложи с ръце между ¼ и ¾ и да получи едно и също математическо очакване. Ако той залага, тогава получава 1 единица стойност от ръцете на играча У между ¾ и 1, но губи 1 единица срещу всички ръце от диапазона от 0 до ¼ (в сравнение с чека). И, тъй като очакването от бета и чека в този интервал ще е еднакво за играча Х, можем да твърдим, че математическото очакване на играча У ще е ¼ ако ръката на играча Х е в интервал [ ¼ ,  ¾].

4

5

Фиг. 18.2. Цена на играта [0,1] #5

По този начин цената на игра с два залога без чек/рейзове е 1/8. И това никак не е малко! Да погледнем това откъм по-познатата страна. Когато играчът Х залага, опонентът му прави рейз ¼ пъти и колва във всички останали случаи, като по този начин той ще вложи в пота (5/4)*(1/2) или 5/8 от единица. Когато играчът Х чеква, играчът У ще вложи в пота един залог в ¾ от случаите или (3/4)*(1/2) = 3/8 от залога. С други думи, като средно играчът У ще внесе един залог в раздаването и ще спечели 1/8 – предимството му е 12.5%!

Причината за толкова голямо предимство е в позицията. Разглежданата игра е изцяло симетрична с изключение на това, че играчът У взима решението последен. Както можете да видите, позицията в покера наистина има цена. Например, тук играчът Х се чувства малко по-комфортно в сравнение с игри на половин улица – там той нямаше никакъв избор освен кол с целия си диапазон. Появата на нова стратегическа възможност при опонента беше доста скъпо за играча У – той загуби половината от неговото очакване (в сравнение с игра, където играчът Х беше задължен да чеква).

Можем да изместим баланса още повече (и ситуацията ще стане по-близка до реалния покер) към играча Х, давайки му възможността да прави чек/рейз. Играта 7 (пример 16.4) почти не се отличава от играта 5 (пример 16.2). Интуицията може да ви подскаже, че очакването на играча Х в този случай няма да е най-малко по-лошо.

Хайде да проверим, дали това е така. Решението на разглежданата игра изглеждаше така:

6

И отново ще смятаме, че праговете на играча У няма да се променят.

Когато ръката на играча Х е под прага от 1/3, ние знаем, че независимо от това, което той ще прави, в пота ще има 2 залога, ако ръката на неговия опонент е в интервала от 0 до 1/3. Играчът Х ще извлече стойност от чек/рейза (в сравнение със залога), ако ръката на играча У е в диапазона [1/3, 2/3], но ще загуби този залог, ако опонентът има ръка между 2/3 и 1. По този начин, играчът Х е безразличен към чек/рейза или бета в цялата област [0, 1/3].

Забележка: Ние смятаме, че играчът Х е безразличен, тъй като очакването му не се променя по никакъв начин.

От друга страна, когато ръката на играча Х е между 1/3 и 5/9, той ще загуби възможността да прави печеливши чек/рейзове заради допълнителен залог, който той ще загуби срещу добрите ръце на опонента. Следователно, той просто трябва да залага с целия този диапазон. С ръце, които са по-слаби от 5/9 играчът ще направи чек.

Можем отново да оценим решението на играта, предполагайки, че играчът Х ще играе със следната стратегия:

  • Бет с ръце, които са по-добри от 5/9
  • Чек и кол с ръце, които са по-слаби от 5/9

Тази стратегия има абсолютно същото очакване, както и „истинската“ оптимална стратегия на играча Х срещу оптимална стратегия на играча У. На своя ред, ако стратегията на играча У не беше фиксирана, той би могъл да започне да експлоатира опонента си.

7

8

Фиг. 18.3. Цената на игра [0,1] #7

Цената на тази игра е 1/9, което с 1/72 е по-добро за играча Х, ако сравняваме с предишната игра. В същност, когато решавахме тази задача, мислехме, че ценността на чек/рейза за играча Х ще е доста по-висока – някъде около половината от началната цена на играта. В реалността тази стратегическа възможност няма голямо влияние върху стратегия на играча У. Наистина, той започва да рейзва малко по-лууз и да залага малко по-тайт, но това пак не е достатъчно, за да се уравновеси позиционното му предимство. Последните две игри без фолдове даваха на играчите възможността да правят безкраен брой рейзове. За да пресметнем цената на играта в примера 16.3 (където все още нямаше чек/рейзове), можем да се възползваме от нейната симетричност след втория залог. Решението на тази игра изглеждаше така:

10

Хайде да разгледаме няколко диапазона, започвайки от най-слабите. Матрицата на плащанията в нашия случай ще изглежда така (ръцете на играча Х са отгоре, на играча У – отляво):

11

12

Фиг. 18.4. Цената на игра [0,1] #6

Със звездичка отбелязахме областта, където и двамата играчи имат ръка, по-добра от х1, тъй като очакването й не може да се изчисли направо, защото тя включва произволен брой прагове (с различни размери на печалба на тях). Естествено, ние не можем да оценим цялата безкрайна последователност от прагове. Вместо това, нека си представим ситуация, когато и двамата играчи имат ръка от интервала [0, x1]. Ще получим спомагателна игра (където играчът Х залага).

Нека g е очакването на играча У в областта, отбелязана със звездичка. В нея имаме:

13

14

Фиг. 18.5. Цената за игра [0,1] #6 в отбелязаната област

След още един рейз тази игра става идентична на игра 6, с изключение на факта, че сега ситуацията се обърна. И двамата играчи имат някакви ръце от зададения интервал и играч, който е направил последния рейз, има очакване –g.

А сега да намерим стойността на g:

15

Аз имам предложение: нека някой разгледа тези изрази. Предлагам и моята версия във вид на pdf файл. Не знам, как авторите са получили крайния израз и точно тук се препънах. Разбира се, можех да го подмина с лека ръка – нали превеждам, какво ме интересуват някакви си там математически операции, нали е важен крайния резултат. Може и така да е, но не ме устройва. А може би авторите тук в някой момент са направили някакво интегриране и аз не съм го забелязала? Изразът g = r/2 се използва нататък доста често. Разбира се, ще го оставя така. Но как са го получили – това остава загадка за мен.

А ето го и файла: Тук математиката на тези математици доста куца

Това за днес… продължение следва. И все пак, ако някой наистина се интересува от тази материя, нека разгледа нещата и да ми каже, къде бъркам аз.

Advertisements
 
Вашият коментар

Posted by на 03/14/2017 in Theory

 

Етикети:

Вашият коментар

Попълнете полетата по-долу или кликнете върху икона, за да влезете:

WordPress.com лого

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Промяна )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Промяна )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Промяна )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Промяна )

Connecting to %s

 
%d bloggers like this: