RSS

Да поговорим за математиката

10 Ноем
Да поговорим за математиката

The Mathematics of Poker by Bill Chen
Доста интересна глава, макар че вървеше доста тегаво… И понеже е доста дълго четиво, можете да свалите pdf-файла: chapter-12

Глава 12: Хедз-ъп с къси стакове – Пуш или Фолд

В глава 11 разгледахме три спомагателни игри на половин улица и за всяка от тях намерихме оптимални стратегии. Подобният анализ е доста полезен и в реалните ситуации в покера – всяка мини-игра носи в себе си определен урок, който може да се използва на масата. Освен това, няма да получим по-точна и по-пълна информация, тъй като пълното решение на покера към днешния момент не е възможно.

В тази част ще говорим за решението в ситуация, с която редовно се сблъсквате в NoLimit покер. Става дума за хедз-ъп, където играчът на бутона трябва или да влезе ол-ин, или да фолдне ръката си.

Забележка: Тази глава фактически дава решението на играта срещу къси стакове.

Може да изглежда странно, защо решихме да се обърнем към този проблем насред играта на половин улица. В същност, за това има съществена причина. При анализа на играта „Пуш или Фолд“ няма да разглеждаме екс-шоудаун стойност – ще обърнем внимание към цената на играта (т.е. общата печалба или загуба в раздаването). По този начин, играчът, който действа пръв, ще има същите варианти за действия, както и играчът У в предишните примери. Той може да фолдне ръката си (което в определена степен е равносилно на чека) и да получи неутрално очакване. Или, пък, той може да заложи, а след това възможно да получи кол от опонента. Така че, в същност, „Пуш или Фолд“ почти не се различава от вече разгледаните от нас игри на половин улица.

Преди да пристъпим към обсъждането на първата игра, предлагаме на нашите читатели да проверят интуицията си и да се опитат да отгатнат отговора на следния въпрос: NoLimit Holdem, двама играчи; според правилата бутонът трябва или да влезе ол-ин, или да фолдне ръката си. Всеки стак е 16 чипа, блиндовете са 1 чип на бутона и 2 чипа на големия блинд. С каква част от началните си ръце играчът на бутона трябва да залага за ол-ин, ако той играе оптимално?

Ще започнем с разглеждането на една спомагателна игра – в нея всеки играч ще има някаква статична ръка от диапазона [0, 1], а правилата са същите – Пуш или Фолд.

Пример 12.1 – [0, 1] Пуш или Фолд №1
  • И двамата играчи имат еднакви стакове (S единици във всеки)
  • Всеки от играчите получава случайно число от диапазона [0, 1]
  • Играчът на големия блинд (играч Х) поставя блинд 1 единица
  • Играчът на бутона (играч У) поставя блинд 0.5 единици и действа пръв
  • Играчът У може да заложи ол-ин с S единици, или да фолдне ръката си
  • Играчът Х може или да колне ол-ина, или да фолдне ръката си
  • На шоудауна печели тази ръка, която е най-близко до нулата.

Първото, което трябва да отбележим тук, е фактът, че играчът У има само два стратегически избора: или да вложи парите си в пота (пуш), или да фолдне ръката си. Стратегията за пуш с диапазон, който е по-слаб от диапазона за фолд, винаги ще бъде доминирана. По този начин, стратегията на играча У ще се състои само от две области: силни ръце, с които той ще залага за ол-ин, и слаби ръце, които той ще фолдне. Същото е вярно и за неговия опонент – силните ръце ще са в диапазона за кол, слабите – в диапазона за фолд.

Тази игра се отличава от преди разгледаните игри с това, че тук не можем да залагаме за ол-ин както със силните, така и със слабите ръце. Ако диапазонът ни за пуш е х%, тогава пушът с х% най-силни комбинации винаги ще доминира всяка друга конфигурация на нашия диапазон. Стратегиите и на двамата участници в нашата игра могат да се изразят само с две числа – силата на ръката, необходима за пуш (у), и силата на ръката, необходима за кол (х). Това са праговите стойности. С други думи, играчът У трябва да залага за ол-ин с всички ръце, които са по-добри от у, а играчът Х трябва да колва с всички ръце, които са по-добри от х.

Освен това, както вече знаем, за чифт оптимални стратегии стойностите у и х са точките за безразличие. Това означава, че когато играчът У има някаква ръка у, на него му е все едно какво да прави: да пушва или да фолдва. Същото важи и за играча Х и съответната стойност х. Също така е очевидно, че играчът Х никога няма да колва ол-ина с ръка, която е по-слаба от у, тъй като той просто никога няма да спечели пота.

Сега можем да използваме тази информация, за да намерим точките за безразличие по същия начин, както вече го направихме в предната глава. Обаче, тук ще отчитаме всичките пари на масата, включително и блиндовете.

И така, математическото очакване за играча У от фолда е ½ от единица (той губи поставения от него блинд).

<Y, фолд> = - 1/2

Тъй като играчът Х никога не колва ол-ина с ръце, по-слаби от у, той винаги ще печели, ако колне. Тогава математическото очакване от пуша с ръка у ще е:

<У, пуш|у> = (играчът Х колва)(-S) + (играчът Х фолдва)(+1)

Тъй като имаме работа с равномерно разпределение [0, 1], вероятността за уцелване на някакъв интервал е равна на дължината на този интервал. Вероятността за кол от играча Х е х, и той ще фолдва ръката си с вероятност (1 – х).

Забележка: Това определение може да ви се стори прекалено объркващо, но то лесно може да поясни с един пример. Представете си, че има някакъв интервал, който се състои от числа от 0 до 1. Да речем, искаме да научим, каква е вероятността за уцелване на отсечка от 0.3 до 0.5. Очевидно е, че ако в началния ни диапазон всичките числа са разпределени равномерно, тогава вероятността за уцелване на отсечката от 0.3 до 0.5 ще е 20% (дължината на интервала е 0.2)

<Y, пуш | -y > = (x) (-S) + (1 – x) (+1)

<Y, пуш | y > = -x*S + 1 – x

Също така, знаем, че в праговата точка играчът У ще е безразличен към пуша, тоест в нея очакването от ол-ина ще е равно на очакването от фолда. Да решим уравнението:

-x*S + 1 – x = - 1/2

x*(1 + S) = 3/2

x = 3/(2 + 2*S)                                  (12.1)

А сега да погледнем към тази ситуация откъм страната на играча Х. Очакването от фолда за него е -1 единица, докато очакваната печалба от кола на ол-ина с ръката х ще е:

<X, кол | x> = (играчът Y има по-добра ръка)(-S) + (играчът Y с по-слаба ръка)(+S)

Играчът У ще залага за ол-ин с у брой ръце (при това х < у). От тях (у – х)/у брой ръце ще са по-слаби от прага х, а х/у ще са по-добри. Да предположим, че играчът У залага за ол-ин с 50% от общия диапазон, докато неговия опонент колва с 30% (у = 0.5, х = 0.3). Следователно, (у – х)/у = 2/5 брой ръце, с които играчът У пушва, ще са по-слаби от диапазона за кол на играча Х, а х/у = 3/5 – ще са по-добри.

Забележка: Играчът У ще залага за ол-ин с „у“ брой ръце, защото с някаква гранична ръка „у“ той ще е безразличен към пуша. Съответно, с всичките по-силни ръце той ще предпочете пуш. Имаме работа с равномерно разпределение от 0 до 1 и, ако, да речем, точката за безраличие се достига в у = 0.2, тогава играчът У ще залага за ол-ин с всичките ръце от 0 до 0.2.

<X, кол | x> = p(играчът Y с по-добра ръка)(-S) + p(играчът Y с по-слаба ръка)(+S)

<X, кол | x> = (x/y)(-S) + [(y – x)/y](+S)

<X, фолд> = -1

Да приравним тези два израза, за да намерим точката за безразличие за играча Х:

(S)(y-2*x)/y = -1

S*y - 2*S*x = - y

S - S*2*x/y = -1

y = S*2*x / (S + 1)                              (12.2)

Да погледнем уравнението 12.1:

x = 3 / (2 + 2*S)

Да направим съответната замяна в уравнението 12.2, получаваме:

y = 3*S / (1 + S)2                                    (12.3)

Получихме две уравнения, които описват чифт оптимални стратегии за дадената игра. Така, играчът У трябва да пушва с 3*S/(1 + S)2 от всичките ръце, а играчът Х ще колва с 3/(2 + 2*S). Веднага можем да проверим получените стойности. При стакове с размер от 5 единици, играчът У ще залага за ол-ин (3*5)/(1 + 5)2 = 15/36 пъти, а играчът Х ще колва 3/(2 + 2*5) = ¼ пъти. При стакове от 10 единици получаваме (3*10)/(1 + 10)2 = 30/121 и 3/(2 + 2*10) = 3/22, съответно. Ако пък вземем екстремални стойности, например, стакове от милион единици, диапазоните и на двамата играчи ще бъдат близки до нулата.

Също така можем да отговорим на въпроса: кой е с предимство в тази игра? Да определим цената на играта за играча У. По-надолу ще видите таблица с възможните комбинации от диапазони в раздаването:

%d1%84%d0%b8%d0%b3-1

Забележка: В горната таблица са указани диапазони на „ръцете“, които могат да бъдат раздадени на всеки играч. Така, [0, х] по хоризонтала означава, че за играча Х разглеждаме всичките ръце от 0 (най-силните) до граничната стойност х. На своя ред, срещу този диапазон играчът У може да противостои с диапазон [у, 1] (от граничната стойност до най-слабите ръце).

Когато играчът У фолдва ръката си, играчът Х печели 0.5 от единицата. Това се случва (1 – у) пъти.

Когато играчът У влиза ол-ин, а опонентът му фолдва, той печели 1 единица. Такъв изход ще се случва у(1 – х) пъти.

Ако играчът У влиза ол-ин и получава кол, тогава са възможни два сценария. Първият е, когато и двамата играчи имат ръце от диапазона от 0 до х. В този случай нито един от тях няма да има преимущество, тъй като, както вече знаем, всичките ръце в нашите диапазони са разпределени равномерно, така че броят на победите и загубите ще е еднакъв. Вторият е, когато играчът У влиза ол-ин с ръка, която е по-слаба от х; тогава неговият опонент, играчът Х, ще печели S единици. Този сценарий ще се случва (у – х)х пъти.

Получаваме:

< Ƴ> = p(Y фолд) (-1/2) + p(Y пуш, X фолд) (+1) + p(Y пуш, X кол при x > y)(-S) +          + p(Y пуш, X кол при x < y) (0)

< Ƴ> = – (1 – y)/2 + (y)(1 – x)(1) + (y – x) x (-S)

%d1%84%d0%b8%d0%b3-2

Получената функция можем да използваме за анализа на цената на играта при различни размери на стака (от 1 до безкрайност). Така, ако стаковете са от 1 до 2 единици, играчът У ще има съществено преимущество в очакването, докато при стакове, по-големи от 2 единици, предимството ще има неговия опонент. Обаче, при стакове, размерите на които се стремят към безкрайност, очакването на играча Х се приближава до 0.5 единици, които той ще печели след като играчът У фолдне.

%d1%84%d0%b8%d0%b3-3

Figure 12:1 Пуш или Фолд #1

Обаче, когато играем покер, най-добрата префлоп ръка невинаги печели в раздаването. Дори ако играчът Х ще колва ол-ина с достатъчно силен диапазон, опонентът му в пота рядко ще има по-малко от 33% очакван дял. В следващата спомагателна игра ще разгледаме случай, когато по-слабата префлоп ръка има шанс да спечели на шоудауна.

Пример 12.2 – [0, 1] Пуш или Фолд #2
  1. И двамата играчи имат еднакви стакове (S единици всеки)
  2. Всеки играч получава случайна стойност от диапазона [0, 1]
  3. Играчът на големия блинд (играчът Х) поставя блинд от 1 единица
  4. Играчът на бутона (играчът У) поставя блинд от 0.5 единици и действа пръв.
  5. Играчът У може да заложи за ол-ин S единици, или да фолдне картите си
  6. Играчът Х може или да колне ол-ина, или да фолдне картите си
  7. На шоудауна, ръката, която е по-близка до нулата, ще спечели в 2/3 от случаите

Тази игра много прилича на онази, която разгледахме преди малко, обаче, трябва да отбележим две важни разлики. Първо, в предишната игра при много малки стакове (например, при S = 1) играчът У влиза ол-ин със 75% от ръцете си, докато неговия опонент колва със 75% от неговия диапазон. Това се е случвало поради това, че ръцете, близки до единица, не са имали никаква ценност. Същевременно, в тази игра най-слабата ръка ще печели на шоудауна точно в 1/3 от случаите. Така, при стакове от 1 единица за играча У пушът с всяка ръка ще има по-голямо очакване от фолда. Второ, по-рано играчът Х трябваше да колва с ръцете, които са по-силни от диапазона на опонента. А тук за него винаги е гарантирана поне 1/3 от пота, така че това правило няма да е изпълнимо.

Ще разгледаме два възможни случая в тази игра.

Случай 1: S < 3

При стакове по-малки от 3 единици стратегията за играча Х ще се намери лесно. Ако опонентът му влезе ол-ин, тогава играчът Х ще има пот-шансове поне 2 към 1, а това, на своя ред, ще означава, че той винаги трябва да колва (тоест, х = 1). С други думи, за играча Х колът ще доминира фолда във всички случаи без никакво изключение. Тогава играчът У трябва само да максимизира своето очакване срещу такава предсказуема стратегия на опонента.

<Y, пуш> = p(играчът Y с най-добра ръка) (пот) (екуити) +

+ p(играчът Y с по-слаба ръка) (пот) (екуити) – (размер на залога)

<Y, пуш> = p(играчът Y с най-добра ръка) (2*S) (2/3) + + p(играчът Y с по-слаба ръка) (2*S) (1/3) – (S)

Играчът Х ще колва ол-ина с всичките си ръце. По този начин, ако играчът У пушва с у1, вероятността неговият опонент да държи по-добра ръка е у1 и по-слаба ръка е (1 – у1).

p(играчът Y с по-добра ръка) = 1 - y1

p(играчът Y с по-слаба ръка) = y1

<Y, пуш | y1 > = (1 - y1) (2S) (2/3) + y1 (2S )(1/3) - (S)

<Y, пуш | y1 > = S/3 – 2Sy1/3

<Y, фолд | y1 > = - 1/2

Играчът У трябва да влиза ол-ин всеки път, когато:

S/3 – 2*S*y1/3 > - 1/2

2*S - 4*S*y1 > -3

y1 < (2*S + 3)/4*S

Праговата стойност у ще е:

y = (2*S + 3)/4*S

Установихме, че оптималните стратегии за игра със стакове, които са по-малки от 3 единици, ще е пуш от играча У с всичките му ръце, които отговарят на горното условие, и кол от играча Х с абсолютно всички ръце. Представете си, че стаковете в раздаването са 1.5 единици – пушът от играча У ще бъде колнат в 100% от случаите, но и ол-инът ще е с целия диапазон.

При стаковете от 3 единици играчът У трябва да влиза ол-ин с ¾ от ръцете си. С ръка 0.75 неговото математическо очакване ще е -0.5 единици, което е равно на очакването от фолда.

Случай 2: S > 3

При стаковете над 3 единици, играчът Х получава шансове, които са по-лоши от 2 към 1. А това означава, че той вече няма да може да колва с целия си диапазон – за някои от ръцете фолдът ще е предпочитано решение. Нещо повече, той вече няма да може да колва с ръце, които са по-слаби от прага за ол-ин на неговия опонент (тъй като фолдът при големи стакове ще е по-добър от кол с 33% очакван дял в пота). По този начин, имаме работа с игра пуш или фолд от примера 12.1, но при условие, че на по-добрата ръка се падат само 2/3 от пота.

Можем да намерим оптимални стратегии за този случай, използвайки същите уравнения с корекции на очаквания дял за всеки играч. Ако те видят шоудауна, тогава по-добрата ръка ще спечели S/3 единици, а по-слабата – ще загуби S/3.

<Y, пуш | y > = (играчът Х колва) (-S/3) + (играчът Х фолдва) (+1)

 Забележка: S/3 е опростено пресмятане на математическото очакване. И наистина, ако говорим за по-горното уравнение, тогава в „традиционната“ му форма то ще изглежда така:

<Y, пуш | y > = (x) (-S * 2/3 + S * 1/3) + (1-x) (+1)

Както си спомняте от примера 12.1, ако играчът Х колва ол-ина, то той го прави с по-добрата ръка. Тогава играчът У в 2/3 от случаите ще загуби, а в 1/3 – ще спечели пота. Но след отварянето на скоби и извършването на действията ще получим S/3. По този начин, можем да опростим разглежданата задача до игра със стакове S/3.

Играчът Х колва ол-ина с вероятност х и фолдва ръката си с вероятност (1 – х)

<Y, пуш | y> = (x) (-S/3) + (1 – x) (+1)

<Y, пуш | y> = (-x*S/3) + 1 - x                  (12.4)

<Y, фолд> = -1/2

Да приравним тези изрази. Получаваме:

-xS/3 + 1 – x = -1/2

xS + 3x = 9/2

x = 9/2(S + 3)                     (12.5)

За играча Х очакването от фолда ще е -1 единица. Да пресметнем очакването от кол с гранична ръка х.

Както и в примера 12.1, играчът У ще влезе ол-ин с у брой ръце (и, както вече знаем, х < у). От тези ръце (у – х)/у ще са по-слаби от х, а х/у ще са по-добри

<X, кол | x>= p(играчът Y с по-добра ръка) (-S/3) +

+ p(играчът Y с по-слаба ръка) (+S/3)

<X, кол | x> = (- S/3) (x/y) + (+S/3) (y – x)/y

<X, кол | x> = (S/3) (y – 2x)/y

<X, фолд> = – 1

Да намерим точката за безразличие:

S/3)(y-2*x)/y = - 1

S(y - 2*x) = -3*y

y = 2*x*S/(S + 3)

y = 9*S/(S+3)2        (12.6)

По този начин, оптималната стратегия за играча У е пуш с 9*S/(S + 3)2 ръце, а за играча Х е кол с 9/2(S+3) ръце.

Както може би си спомняте, в примера 12.1 оптималните диапазони са били доста тесни – при стакове от 10 единици играчът У трябваше да влиза ол-ин с около ¼ от ръцете си. Обаче, в тази игра той трябва да влиза ол-ин (9*10)/(10 + 3)2 = 90/169 пъти, т.е. в повече от половината от случаите при същия размер на стаковете. На своя ред, играчът Х ще колва с 9/(2*(10 + 3)) = 9/26 от всичките си ръце. На пръв поглед, човек може да си помисли, че тук има някаква грешка – как може да се рискуват 10 блинда, за да се вземе само 1 блинд, при което колът има само 33% шанса за победа?

В същност, интуицията ви подсказва неправилен отговор. Мнозина са свикнали да мислят, че те рискуват А$, за да спечелят В$, при това всичките променливи са твърдо определени (размерът на залога, честотата на фолда от опонента или победа на шоудауна и т.н.) При такава логика, сметките ни наистина ни се струват грешни – искаме да рискуваме 10 единици, за да спечелим 1, когато опонентът колва нашия ол-ин в около 1/3 от случаите. Обаче, важно е да се разбере, че в случай на кол ние губим не S, а S/3. Така че в същност ние инвестираме в пота 3 1/3 единици, за да спечелим 1,5 единици (мъртвите пари в пота).

Ако сравним решенията за игрите от примерите 12.1 и 12.2 (за стакове над 3 единици), тогава тази закономерност ще стане още по-очевидна:

Пример 12.1:

x = 3/(2 + 2*S)

y = 3*S/(1 + S)2

Пример 12.2:

x = 9/(2*S +6)

y = 9*S/(S +3)2

Както се вижда, решението за втората игра може да бъде получено от уравненията в примера 12.1, ако просто заменим S с S/3. В същност, ефективният размер на стака в примера 12.2 е само S/3. Можем да използваме тази стойност, за да пресметнем цената на новата игра за играча У.

%d1%84%d0%b8%d0%b3-4

Обаче, това уравнение се отнася само до ситуации, където размерът на стака е над 3 единици. Има и два други случая – всеки със своето отделно решение. Така, когато S < 3/2, и двамата участници ще играят с всичките си ръце без никакво изключение, цената на играта ще е равна на нула. А в интервала между 3/2 и 3 ще важи решението от първия случай, който разгледахме в примера 12.2:

%d1%84%d0%b8%d0%b3-5 при х = 1, така че

< Ƴ> = p(играчът Y фолдва) ( -1/2) + p(играчът Y влиза ол-ин) p(x1>y) (S/3)

%d1%84%d0%b8%d0%b3-6

%d1%84%d0%b8%d0%b3-7

Можете да забележите, че получихме цената на играта за три взаимно допълващи се интервала

< Ƴ> = 0, за S ≤ 3/2

< Ƴ> =(2*S – 3)2/48S,за 2/3 ≤ S ≤ 3

< Ƴ> = -1/2 + (27*S)/(4(S+3)2), за 3 ≤ S

Обърнете внимание върху праговите стойности на х и у. При S < 3 имаме х = 1, обаче в момента, в който S става малко по-голямо от 3, оптималната честота на кола спада до ¾. Това означава, че при промяната на стаковете и пота стратегиите не трябва да бъдат непременно непрекъснати.

С помощта на тези два примера изяснихме, как наличието на очакван дял променя стратегията в игрите „Пуш или Фолд“. Когато по-добрата префлоп ръка независимо от нищо печелеше пота, оптималната стратегия беше достатъчно тайт, а играчът Х имаше значително преимущество практически при всякакъв размер на стака. Но щом по-слабата ръка получи някакъв очакван дял (пример 12.2), оптималната стратегия започна да диктува игра с по-широк диапазон. Нещо повече, предимството получи играчът У при какъвто и да е размер на стака, по-малък от 6 единици.

Както ще научим от следващия пример, оптималната стратегия в НоЛимит покер също ще е доста лууз и агресивна.

Пример 12.3 – Пуш или Фолд в NoLimit Holdem

Условия:

  • И двамата играчи са с еднакви стакове (S единици всеки)
  • Всеки играч получава по 2 карти
  • Играчът на големия блинд (играчът Х) поставя блинд от 1 единица
  • Играчът на бутона (играчът У) поставя блинд от 0.5 единици и действа пръв
  • Играчът У можем да влезе ол-ин за S единици, или да фолдне ръката си
  • Играчът Х може или да колне ол-ина, или да фолдне ръката си
  • Ако играчът Х колва ол-ина, на масата се слагат петте карти и по-добрата комбинация печели.

На пръв поглед може да ви се стори, че имаме работа с вариант на вече разгледаната от нас игра. Обаче, Холдем не се вмества в диапазон [0, 1], който използвахме по-рано. Така, тук почти няма мъртви префлоп ръце, и 80% срещу случайна комбинация имат само двама играчи. Освен това, силата на ръката ни постоянно ще се променя. Първо ще разгледаме две крайни ситуации: при безкрайно големи и безкрайно малки стакове.

В разсъжденията ни надолу ще срещнете термина фиктивна игра. Вече го използвахме преди и трябва да отбележим, че той е абсолютно незаменим при решаване на игрите с помощта на компютър. Темата за фиктивните игри доста добре е описана в теория на игрите, така че няма да се впускаме в подробности и просто ще предложим кратка дефиниция. Ако са ни известни правилата на играта, както и стратегията на идеалния опонент (тоест стратегия за максимална експлоатация на всяко наше действие), тогава можем да използваме тази информация, за да потърсим оптимална стратегия.

За начало трябва да направим предположение за вероятните стратегии на всеки играч. Колкото е по-реалистична нашата догадка, толкова по-лесно ще се реши играта. Представете си, че имаме двама играчи (А и В). Да речем, ние знаем техните стратегии. Сега трябва да изчислим стратегия за максимална експлоатация за играча В при условие, че играчът А използва зададена от нас стратегия. След това ще обединим намерената стратегия с първоначалната стратегия за играча В, използвайки специалната константа за смесване. Тя се задава чрез някаква последователност от числа, стремяща се към нула, обаче съдържаща достатъчен брой елементи, което позволява стратегиите да се променят по произволен начин.

Смесването на стратегиите работи по следния начин. Нека предположим, че е зададена константа m. Тогава ще съчетаваме старата стратегия Sстара с намерената стратегия за максимална експлоатация Sнова по следния начин:

Sсмесена = (1 - m) Sстара + m Sнова

Доказано е, че многократното повтаряне на такива „фиктивни отигравания“ (където се поставяме на мястото и на двамата играчи) в крайна сметка ще ни доведат до оптималната стратегия. При това броят на повтарянията ще е крайно число (не е безкрайно).

Много големи S

Когато стаковете на участниците в едно раздаване се стремят към безкрайност, единствената вярна стратегия ще е игра само с аса. Играчът У няма да може да влиза ол-ин с нито една друга ръка, тъй като тогава неговият опонент ще има възможността просто да дочака аса и да спечели астрономически пот. Обаче, с намаляването на стака, на играча У ще му се наложи да разширява диапазона си с нови ръце, защото в противен случай той ще губи пари, пропускайки възможността да открадне блиндовете. Очевидно е, че ако играчът У няма да започне да го прави, тогава неговия опонент трябва да следва стратегията за кол с асата. И така, ако стаковете станат по-големи от някаква критична стойност, играчът У няма да може да извлече стойност от пуша с широк диапазон, тъй като дори ако неговият опонент колва само с аса, като средно той ще губи прекалено много. Можете да си помислите, че с намаляването на стака първата работа, която трябва да направи играчът У, е да започне да влиза ол-ин с КК, обаче това не е съвсем вярно. Работата е там, че при игра с големи стакове особенно ценни стават ръцете с блокъри. Така, комбинациите с асо намаляват вероятността опонентът да е с АА и имат по-голям очакван дял срещу негов диапазон, отколкото КК. В играта „Пуш или Фолд“ най-добрата ръка срещу опонент, който колва ол-ина само с АА, ще е ATs.

Ако играчът У влиза ол-ин с ATs при стак от 2000 единици, очакването му ще е:

<ATs, пуш 2000> = p(играч Х фолдва) (пот) + p(играч Х колва)p(екуити на играча Y)(размер на пота) – пуш

<ATs, пуш 2000> = (1222/1225) 1.5 + (3/1225) ((0.13336) (4000) – 2000)

<ATs, пуш 2000> = – 2.09525

Забележка от преводача: Честно казано, не разбрах, защо след като имаме 1326 възможни комбинации, от които 4 са АТs – т.е. остават 1322 комбинации, които могат да бъдат раздадени на играча Х, във формулата се използват 1225 възможни комбинации. Ако използваме 1326 комбинации, резултатът ще е около -1.838, т.е. стойността е малко по-голяма. Стойността 0.13336 е очакван дял на ръката АТs срещу АА.

Или приблизително минус 2 единици за пуш. Можем да използваме същата формула, за да намерим размера на стака х, при който ATs става печеливш пуш срещу опонент, който колва само с аса:

<ATs, пуш x > = 1.5(1222/1225) + (3⁄1225) ((0.13336) (x) – x)

За да определим граничната точка, трябва да приравним този израз към нула:

1.5(1222⁄1225) + (3⁄1225) ((0.13336) (x) – x ) = 0

X = 833.25

Това означава, че при стак от 833.25 единици играчът У може да започне да влиза ол-ин не само с АА, но и с ATs. Както вероятно вече сте се досетили, при по-голям размер на стака, в диапазона му трябва да останат само аса, а 833.25 е точката за безразличие за АТs (с други думи, имено при този стак на играча У му е все едно, какво да прави с тази ръка).

А сега да разгледаме тази ситуация от гледната точка на играча Х, когато неговия опонент започва да влиза ол-ин не само с АА, но и с АТs. Може ли той да разшири диапазона си? По-добрата ръка (освен АА) срещу {AA, ATs} ще е AKs с 41.442% очакван дял, обаче дори с нея играчът Х ще губи пари в случай на кол.

Интересно е да се отбележи, че когато стаковете достигат до 833.25 единици, стратегията на играча У рязко се променя от {Пуш в 100% от случаите с АА} към {Пуш в 100% от случите с АА и АТs}. Тук няма никакъв плавен преход, например {Пуш в 1% от случите с ATs} – в момент, в който пушът с ATs става печеливш, играчът У е задължен да премине към новата стратегия.

До някаква степен този парадокс прилича на промяната в агрегатното състояние във физиката. При определена температура веществото стремително преминава от твърдото състояние в течно. Това се случва поради факта, че точката за равновесие може рязко да се измести дори при незначителни промени в разглежданата система. Няма да е сложно да видим тази аналогия с размерите на стаковете и пота – колкото е по-малко това съотношение, толкова по-бърза става играта. А нулевите блиндове фактически са равносилни на абсолютната нула във физиката, когато всякакво движение спира. Нека да ускорим играта ни и да намалим стаковете до 833.12. В тази точка получаваме още един кандидат за пуш – А5s (с очакван дял срещу АА от 13.331%). Важно е да се отбележи, че колкото повече ръце включваме в диапазона си, толкова по-скоро играчът Х ще може да колва нашите ол-ини с ръце, които са по-слаби от АА.

И отново, за играча Х срещу диапазона {AA, ATs, A5s} най-добрата ръка ще е AKs; нещо повече, този път тя ще има над 50% очакван дял (по-точно, 50.9%). По този начин, ако играчът У решава да влиза ол-ин с АА, АТs, A5s, тогава играчът Х може да започне да колва и с АКs, и очакваната печалба на неговия опонент ще стане отрицателна. На своя ред, играчът У може да махне А5s от неговия диапазон, но тогава и играчът Х ще има право да се върне към стратегията за кол само с АА (и в този случай играчът У ще пропусне някаква част от потенциалните печалби).

Следователно, играчът У трябва да намери правилните комбинации от ръце, при които очакването му срещу най-добрата стратегия на опонента ще е максимално. За тази цел трябва само да се намери точката за безразличие за АКs.

%d1%84%d0%b8%d0%b3-8

Както виждате, пушът с A5s е по-препочтителен, отколкото с ATs, ако опонентът колва с диапазон от АА и АКs.

Да намерим точката за безразличие за АКs при играча Х. В нея очакването от стратегията за кол с АКs трябва да е равно на нула:

(-1.5447) (AA%) + (0.8353) (ATs %) + (0.8085) (A5s %) = 0

Забележка: Тук първо намерихме очакването на стратегията за кол с АКs срещу всяка една възможна ръка на опонента. Това е отклонението от стратегията за кол само с АА, тъй като, за да намерим очакването на стратегията за кол с АА и АКs, ние, очевидно, просто трябва да съберем очакваните печалби от кола с АА и кола с AKs. В точката за безраличие на играча Х му е все едно, какво да прави с неговите АКs. С други думи, очакването на играча Х от кола с AKs трябва да е равно на нула. Тогава очакваната печалба от стратегията {Call AA & AKs} ще равна на очакваната печалба от стратегията {Call AA}.

Естествено, честотата на пуша с АА ще е 100%, тогава получаваме:

0.8353 ATs% + 0.8085 A5s% = 1.5447

Тъй като А5s има по-високо очакване за играча У, тогава и с тази ръка ще пушваме в 100% от случаите:

0.8353 ATs% = 0.70935

ATs% = 87.73%

Това означава, че при стак от 833 единици, ако играчът У ще влиза ол-ин с диапазон {AA-100%, ATs-87.73%, A5s-100%}, то неговото очакване ще е максимално, а на играча Х ще му е безразлично дали да колва или не с АКs.

Обърнете внимание, че по-рано предлагахме да се влиза ол-ин с АТs абсолютно винаги, обаче, в момента, в който ефективният размер на стака е спаднал с по-малко от 0.5 единици, честотата на пуша с тази ръка се е намалила почти с ¼. По-подробен анализ на тази игра ще ни поднесе още повече подобни неочаквани резултати – при определени размери на стакове ще сме принудени да изключим някои ръце от диапазона на играча У, като ги заменим с други, които се представят по-добре срещу новия диапазон за кол на опонента.

Много малки S

И така, придобихме някаква представа относно решението на разглежданата игра при много големи S. А сега да погледнем, какво се случва при малките стакове.

Първо, ще поговорим за ситуация, в която попада играчът Х. Вече знаем, че той ще колва само с онези ръце, които имат положително очакване срещу диапазона за пуш. Всеки път той трябва да взима решение за кол на залога с размер (S – 1) при пот (S + 1). Нека неговият очакван дял в случай на кол да е някакво х, тогава:

x(2*S) - (S-1) > 0

x(2*S) > S- 1

x > (S- 1)/(2*S)

Sледователно, играчът Х е длъжен да колва всеки път, когато екуити на неговата ръка е по-голямо от (S – 1)/(2*S).

Например, при стакове с размер 1.1 единица, той трябва да колва с комбинации, очакваният дял на които превишава 1/22. По-просто казано, играчът Х би трябвало да колва с всяка ръка, тъй като дори 32о има 32.3% очакван дял срещу които и да е две случайни карти. Нека си представим, че играчът Х наистина колва с всичките ръце. Тогава неговият опонент ще трябва да влиза ол-ин с която и да е комбинация, очакването от пуша с която е по-високо от очакването от фолда. Очевидно е, че очакването от пуша не е нищо друго освен резултата от ол-ина срещу диапазона за кол, а очакването от фолда винаги е нула.

<Играчът Y, всички ръце>*(2*S) - (S - 0.5) > 0

< Играчът Y, всички ръце > > (S - 0.5)/2*S

И така, играчът У, на своя ред, ще влиза ол-ин с всички ръце, очакваният дял на които е по-голям от (S – 0.5)/2S. При стакове от 1.1 единици тази граница е 3/11. Подобен очакван дял срещу диапазона за кол на играча Х има всяка случайна ръка, така че оптималната стратегия тук е пуш с всеки две карти. И тъй като нито един от играчите не може да подобри стратегията си едностранно, то при дадените стакове намереният от нас чифт стратегии (пуш с всеки две и кол с всеки две карти) ще е оптимален.

Обаче, започнат ли стаковете да растат, първо играчът У ще се сблъска с проблема недостатъчно екуити за пуш.

Най-слабата ръка, 32о има 32.3% очакван дял при ол-ин срещу две случайно карти. Слагайки тази стойност във формулата, получаваме:

0.323 > (S - 0.5)/(2*S)

S > 1.412

Тоест, в момента, в който стаковете станат 1.412 единици, играчът У вече няма да може да влиза ол-ин с 32о. Забележете, колко силно се различава тази игра от играта с големи стакове, където играчът У винаги влизаше ол-ин с по-широк диапазон от диапазона за кол на неговия опонент.

Можем да използваме метода за фиктивна игра, за да оценим оптималните стратегии при различни размери на стакове. Да вземем стак от 2 единици. Използвайки формулата за определянето на очаквания дял, ще получим, че играчът Х трябва да колва всеки път, когато очакваният дял на неговата ръка е по-голям от ¼. Но да си представим, че той вместо това ще колва с всичките си ръце. Тогава най-добрата контр-стратегия за играча У ще е пуш със стартови ръце, очакваният дял на които превишава 3/8. Като следствие, в диапазона му няма да влязат 13 ръце: 32o, 42o, 52o, 62o, 72o, 82o, 43o, 53o, 63o, 73o, 83o, 32s, и 42s.

Тъкмо е време да се върнем към играча У и да помислим за подходяща адаптация. Срещу диапазона, който не включва 13-те горе споменати комбинации, най-слабата ръка отново ще е 32о с 31.72% шансове за победа. И, като резултат, на него все едно ще му се наложи да колва с всичките ръце. По този начин, и двамата участници са максимизирали очакването си срещу съответна стратегия на опонента и няма пътища за подобряване на нито една от тях.

Някои читатели сега могат да помислят, че сме се побъркали. Наистина, в повечето ситуации (за това учат всичките начинаещи) трябва да се колва с диапазон, който е по-тесен от диапазона за пуш. Причината, поради която това правило не се спазва в нашия случай се крие в изключително малкия размер на стака – блинда на играча У (0.5 единици) е доста голяма част от неговия стак. Но с нарастването на стака при всеки играч, този ефект постепенно ще намалее. Сега нека стаковете станат 3 единици. Играчът У трябва да печели с ръката си 5/12 пъти при условие, че неговия опонент отговаря с всеки две карти. Така, преди флопа той трябва да се раздели с 34 комбинации:

  • 32o и 32s
  • 42o-43o и 42s-43s
  • 52o-54o и 52s-54s
  • 62o-65o и 62s-64s
  • 72o-75o и 72s-73s
  • 82o-85o и 82s-83s
  • 92o-94о

От друга страна, на играча Х ще му трябва 1/3 екуити в пота за нулев кол.

Срещу намерения диапазон на опонента ръцете, които нямат необходимия очакван дял, са следните:

  • 32o
  • 42o
  • 52o
  • 62o-63o
  • 72o-73o
  • 82o-83o

А сега да се върнем към играча У. Току що определихме новия диапазон за неговия опонент, а това означава, че функцията за математическото очакване от пуша ще се промени. Сега тя ще изглежда по следния начин:

(% играчът Х колва) (p(играчът Y печели) (пот след кола) – цената на кола) + (% играчът Х фолдва) (пот) > 0

Това неравенство ни дава нов диапазон за ол-ин. Като отговор, играчът Х ще промени неговия диапазон и така нататък. Като цяло това е алгоритъмът за фиктивна игра.

Отговорът при стакове от 3 единици ще е:

Диапазон за пуш (играчът У):

{22, A2s, A2, K2s, K2, Q2s, Q2, J2s, J2, T2s, T2, 92s, 95, 84s, 85, 74s, 76, 64s, 54s}

Диапазон за фолд (играчът Х):

{32, 42, 52, 63-, 73-, 83-}

Забележка: Тук се има предвид, че играчът У влиза ол-ин с всички ръце, които са по-добри от посочените в скоби. За играча Х „63-„ означава, че той трябва да фолдне онези ръце, които са по-слаби от 63.

Фактически, с помощта на фиктивната игра можем да решим „Пуш или Фолд“ за всякакви стакове. По-надолу ще видите таблици с оптимални стратегии за пуш и кол при стакове, които са по-малко от 50 блинда.

Числата в таблиците са праговите стойности на размера на стака, под които пушът (или кол, в зависимост от таблицата) става печеливш. От друга страна, бележките CALL и JAM означават, че с дадената ръка можете да залагате или да колвате без да се замисляте, ако стаковете са под 50 блинда. Както вече доказахме горе, някои ръце могат да се появяват, или да изчезват от диапазоните в зависимост от размера на стака. И макар че в повечето случаи това няма да има решаващо значение за нашата стратегия, ние отбелязахме със символа „*“ няколко начални ръце, върху които си заслужава да се обърне внимание.

Стаковете в таблиците са преди поставянето на блиндовете в пота.

Таблицата за Пуш в NLH

(ръцете от една боя са отгоре и вдясно)

%d1%84%d0%b8%d0%b3-9

Ръцете със звездичка трябва да се играят по следния начин:

*63s = пуш при стак под 2.3, както и в интервала 5.1 – 7.1

**53s = пуш при стак под 2.4, както и в интервала 4.1 – 12.9

***43s = пуш при стак под 2.2, както и в интервала 4.8 – 10.0

Таблица за кол в NLH

(ръцете от една боя са отгоре вдясно)

%d1%84%d0%b8%d0%b3-10

Практическо приложение и коментари

На покер-масата рядко ще срещнем ситуации, които отговарят на горе описаните екстремални примери. Да речем, ние никога няма да си помислим да играем „Пуш или Фолд“ със стакове от 500 bb. Обаче, както вече доказахме, при безкрайно големи стакове има смисъл да се играе само с много тесен диапазон, и обратно. При това с намаляването на стака диапазоните на играчите се разширяват достатъчно плавно.

А сега да погледнем примера 12.2, където на най-слабата ръка се падаше 1/3 от пота. Тук, при стакове с по 10 единици играчът У трябваше да влиза ол-ин с 90/169 (53.2%) от всичките ръце, а опонентът му трябваше да колва 9/26 (34.6%) пъти.

Същевременно в примера с Но Лимит Холдем при стакове от 10 единици играчът У трябва да пушва с 774/1326 (58.3%) ръце, а играчът Х – да колва с 494/1326 (37.3%). Както виждате, тези резултати се различават слабо. Нещо повече, по-агресивните стратегии в Холдема са следствие на още по-незначителна разлика в очаквания дял на по-добрата и по-слабата ръка.

Интересно е, че в повечето случаи в диапазона за пуш се предпочитат ръце, които имат най-голям очакван дял срещу случайна ръка (например, високите чифтове са част от оптималната стратегия дори при много големи стакове). Обаче, колкото е по-малък размера на ефективния стак, толкова по-често ще сме принудени да влизаме ол-ин дори с такива ръце, които губят срещу случайна ръка. Например, при стакове под 36 единици, в диапазона за пуш се появява 97s, при това тя не е фаворит срещу всеки две карти. Но в този случай за играча У е от значение само очаквания дял, който ръката му има срещу диапазона за кол, а не срещу случайна ръка. А тъкмо средните едноцветни конектори се представят доста добре срещу картите, които са в основата на диапазона на играча Х (високи чифтове и аса). Освен това, таблицата за пуш подчертава важността на едноцветните ръце – онези 2.5% предимство в екуити, които имат едноцветните начални ръце, ги поставят доста по-високо от разноцветните им аналози.

Внимателният читател може да се запита: „А за какво са ми тези таблици? Никога няма да съм в игрите, където можеш или само да фолдваш, или да влизаш ол-ин.“ Обаче, ние твърдим, че играта пуш или фолд при малки стакове ще е оптимална стратегия (или, поне е близка до нея) за хедз-ъп в Но Лимит Холдем. При условие, че в SNG-турнири, сателити, както и в късните етапи на МТТ подобни ситуации се срещат доста често, знанието на горните таблици е задължително за всеки сериозен играч. Нека да разгледаме ситуации, където таблиците за пуш и фолд имат своето място.

Първо, ще направим няколко предположения:

  • С цел скриване на информация ние трябва да играем всичките си ръце по един и същ начин – независимо от това, дали рейзваме малко, лимпваме или фолдваме.
  • Диапазонът, който се играе от бутона, винаги ще е по-силен от диапазона на играча, който е на големия блинд (който се състои от две случайни карти). Затова за играча на бутона рейзът е по-изгодно действие, отколкото лимп.

Забележка: Тук се има предвид, че ако играчът на бутона рейзва преди големият блинд да е казал думата си, неговият диапазон се състои от две случайни карти. И тъй като диапазонът на бутона по никакъв начин не може да е по-слаб, той получва предимството в силата на ръката, както и има позиция.

Нека J е някаква стратегия „Пуш или Фолд“ за играча У (бутон). Тогава играчът Х може да максимизира очакването си срещу J, играейки със същата стратегия. А сега да вземем алтернативна стратегия J1, с която играчът на бутона рейзва с някакъв определен диапазон до 2 единици (блиндове).

Хайде да предположим, че играчът Х отговаря чрез някаква стратегия J2 (която е доста далеч от оптималната):

  • Той пушва с всички ръце, с които би колнал ол-ина
  • Той фолдва всички ръце, които би фолднал при ол-ин от опонента

Срещу стратегия J2, стратегията J1 ще е по-силна от стратегията J, тъй като в този случай играчът У ще рискува само 1.5 блинда (а не целия стак) и ще получава същото количество фолдове от опонента си. Нещо повече, той дори може да фолдне някои от ръцете си, ако не му достига екуити, за да колне ол-ина. Обаче, при много къси стакове това, естествено, никога няма да се случи. Например, при ефективен стак от 4 бб, играчът Х ще влиза ол-ин срещу мин-рейз със 115 от 169 ръце (63%). И, ако неговия опонент пушва толкова широко, тогава играчът У явно има достъчни пот-шансове за кол дори с 32о. Така, че при такъв стак рейзът до 2 бб е равносилен на ол-ин (диапазонът за рейз ще е същият, както и диапазон за пуш в стратегията J).

Обаче, рейзът преди флопа открива пред играча Х нова стратегическа възможност – той може да колне. Както вече знаем, стратегическите възможности притежават неотрицателна ценност, така че със стак от 4 единици играчът У трябва да се придържа до стратегията „Пуш или Фолд“.

От друга страна, когато стаковете в ръката са по 100 бб, играчът У винаги трябва да прави неголеми префлоп рейзове. Защото неговият опонент (ако той играе по стратегия J2) ще влиза ол-ин само с много силни ръце. Между тези две крайности съществува някакъв праг, където има смисъл играчът У да премине към стратегия с мин-рейзове префлоп, обаче, при по-къси стакове стратегията „Пуш или Фолд“ фактически ще е оптимална.

Да се върнем към въпроса относно използването на стратегията „Пуш или Фолд“ и да намерим размера на стака, при който можем да започнем да правим малки рейзове с ръце, които не влизат в диапазона за пуш. Фактически, трябва да намерим такъв размер на стака за дадена ръка, където очакването от ол-ина ще е равно на очакването от мин-рейза и фолда при пуш от играча Х (който използва стратегия J2).

При стакове от 8 бб, диапазонът за ол-ин на играча Х (по стратегия J2) ще е 602/1326 или 45.4% от всички ръце.

От друга страна, ако погледнем стратегията за пуш на играча У, тогава най-слабата му комбинация ще е Q4o. И тогава, да речем, Q3o вече няма да е в този диапазон.

Нека той да влиза ол-ин префлоп с Q3o при стакове от 8 блинда. Срещу диапазона за кол на играча Х тази ръка има 34.8% шансове за победа. Тогава очакването от пуша с Q3o ще е (за играча У):

<Пуш, Q3> = p(играчът Х фолдва) (блайнд) + p(играчът Х колва)*

p(играчът Y печели) (стак на играча Х)+ p(играчът Х колва) (p(играчът Х губи) (стак на играча Y)

<Пуш, Q3>= (0.546) (+1) + (0.454) (0.348) (+8) + (0.454) (0.652) (-8)

<Пуш, Q3> = -0.558 блайнда

Получихме доста предсказуем отговор. Очакването от фолда е -0.5bb, така че Q3o наистина се намира точно под точката за безраличие за играча У при дадени стакове.

От друга страна, очакването от мин-рейза с Q3o (без да се отчитат блокъри) е:

<Мин-рейз, Q3> = p(играчът Х влиза ол-ин) (цена на фолда) + p(играчът Х фолдва) (блайнд)

<Мин-рейз, Q3> = (0.454) (-2) + (0.546) (+1)

<Мин-рейз, Q3> = – 0.638

Фактически, тук можем да кажем, че при стакове от около 8 блинда на играча У му е все едно какво да прави: да влиза ол-ин или да мин-рейзва и да фолдва всички ръце, които не влизат в диапазона за пуш. И макар че прагът от 8 блинда може да не е лоша отправна точка за понататъшните ни разсъждения, в нашите сметки присъства едно предположение, което не можем да игнорираме. Работата е там, че играчът Х изобщо не е задължен да играе със стратегия J2!

Тъй като той може просто да колне мин-рейза, имайки пот-шансове 3 към 1, очакването от тази линия за играча У веднага ще се намали. По този начин ние смело можем да добавим към нашия праг още няколко блинда. Според нас, в хедз-ъп при стакове под 10 бб оптималната стратегия ще е „Пуш или Фолд“ ( в някои случаи – под 12 – 13 бб, ако сме без позиция постфлоп).

Сега вече можем да отговорим на въпроса, който поставихме в началото на тази глава. Но Лимит Холдем, двама играчи, по правило бутонът трябва или да влезе ол-ин, или да фолдне. Стакът на всеки играч е 16 чипа, блиндовете са 1 чип на бутона и 2 чипа на големия блинд. С каква част от началните ръце играчът на бутона трябва да влиза ол-ин, ако той играе оптимално?

От таблиците е ясно, че диапазонът за пуш трябва да е около 61.7% от всичките ръце. На мнозина може да им се стори, че това изобщо е невярно – и наистина, защо трябва да рискуваме толкова често с 16-те чипа, за да спечелим само 3? Цялата работа е в очаквания дял!

Намерените в тази глава стратегии могат да ви послужат при игра в турнири, както и в ситуации блинд срещу блинд (ако вие или вашия опонент сте с къс стак). Освен това, „Пуш или Фолд“ доста добре показва доколко е силно действието ол-ин преди флопа. Дори при значителни стакове слабият играч може лесно може да изравни преимуществото на по-опитния си опонент, без да губи при това в математическото очакване.

Трябва да се запомни

  • В игрите „Пуш или Фолд“, където по-добрата ръка печели целия пот, оптималната стратегия ще е доста тайт, при това, предимството ще има и колващия (играчът Х) практически при всякакъв размер на стака.
  • Когато по-слабата ръка има значителен очакван дял, оптималната стратегия става доста по-лууз.
  • Оптималната стратегия при игра „Пуш или Фолд“ в Но Лимит Холдем включва доста по-слаби диапазони, отколкото човекът би могъл да помисли.
  • Когато конструираме диапазона за пуш, нашият избор ще зависи изключително от очаквания дял на конкретните ръце срещу диапазона за кол на опонента.
  • Играта по стратегия „Пуш или Фолд“ ще е близка до оптимална при стакове под 10 – 11 блинда.

Advertisements
 
Вашият коментар

Posted by на 11/10/2016 in pankratt

 

Етикети: , , ,

Вашият коментар

Попълнете полетата по-долу или кликнете върху икона, за да влезете:

WordPress.com лого

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Промяна )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Промяна )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Промяна )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Промяна )

Connecting to %s

 
%d bloggers like this: